\chapter{瑞利散射理论（1871）的原始推导过程}
\author{李国斌}
\date{2025.08.31}
	
	\begin{abstract}
		本文旨在重现瑞利勋爵（Lord Rayleigh）于1871年首次提出天空蓝色理论时的原始推导过程。瑞利散射是光波遭遇远小于其波长的微粒时发生的一种弹性散射现象，其散射光强度与入射光波长的四次方成反比（$I_s \propto \lambda^{-4}$）。这一规律成功地解释了天空呈蓝色而夕阳呈红色的自然现象。本文从经典电动力学出发，详细推导了散射光强的角分布与波长依赖关系，并讨论了其物理内涵。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1871年，瑞利勋爵在《哲学杂志》上发表了题为《论天空中的光，其偏振与颜色》的开创性论文。在此之前，天空蓝色的成因众说纷纭。瑞利摒弃了此前认为的“微小水滴反射”等观点，创造性地将大气分子视为比光波长小得多的散射元，从麦克斯韦的电磁理论出发，首次推导出了散射光强与波长的四次方成反比的关系，为这一古老问题提供了第一个令人满意的定量解释。
	
	\section{理论模型与基本假设}
	瑞利的推导基于以下核心物理图像和假设：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{散射体}：大气中的分子或被视作半径 $a$ 远小于入射光波长 $\lambda$ （即 $a \ll \lambda$）的均匀、各向同性的球形电介质颗粒。
		\item \textbf{入射光}：一束单色平面偏振电磁波，其角频率为 $\omega$，波矢为 $\mathbf{k_i}$。其电场形式为：
		\[
		\mathbf{E_i} = \mathbf{E_0} e^{i(\mathbf{k_i} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}
		\]
		\item \textbf{作用机制}：入射光电场 $\mathbf{E_i}$ 使散射体中的电子发生受迫振动，从而使其极化成为一个振荡电偶极子（Hertzian Dipole），其偶极矩 $\mathbf{p}$ 为：
		\[
		\mathbf{p} = \alpha \varepsilon_0 \mathbf{E_i}
		\]
		其中 $\alpha$ 为分子的极化率（Polarizability）。
		\item \textbf{辐射场}：该振荡偶极子作为辐射源，向四面八方辐射电磁波，即散射光。
	\end{itemize}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=Stealth]
			% 坐标轴
			\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[below] {$x$};
			\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[right] {$z$};
			\node at (0,0) [below left] {$O$};
			
			% 入射光 - 平面波表示
			\foreach \y in {-2, -1, 0, 1, 2} {
				\draw[red, thick, ->] (-2.5, \y) -- (0, \y);
			}
			\node at (-2.8, 2.5) {$\mathbf{E_i}$};
			\draw[red, thick, ->] (-3, -2.5) -- (-3, 2.5) node[midway, left] {$\mathbf{k_i}$};
			
			% 散射粒子
			\filldraw[blue] (0,0) circle (0.08) node[below right] {散射体};
			
			% 偶极矩矢量
			\draw[very thick, blue, ->] (0,0) -- (0, 1.5) node[midway, right] {$\mathbf{p}$};
			
			% 散射光球面波前
			\draw[green!50!black, dashed] (0,0) circle (2);
			\foreach \angle in {30, 60, 120, 150, 210, 240, 300, 330} {
				\draw[green!50!black, ->] (0,0) -- (\angle:2.2);
			}
			
			% 标注散射角Theta
			\draw (0:1) arc (0:45:1);
			\node at (22.5:1.3) {$\Theta$};
			\node at (45:2.5) {$\mathbf{k_s}$};
			
			% 标注距离r
			\draw [<->] (0, -0.5) -- (45:2);
			\node at (1, -0.8) {$r$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{瑞利散射物理图像。红色矢量表示入射平面波及其波矢，蓝色矢量表示被诱导出的振荡电偶极矩 $\mathbf{p}$，绿色箭头表示该偶极子向各个方向辐射的散射光，$\Theta$ 为散射角。}
		\label{fig:rayleigh_model}
	\end{figure}
	
	\section{散射光场的推导}
	一个振荡电偶极子 $\mathbf{p}(t) = \mathbf{p_0}e^{-i\omega t}$ 在远场区（$r \gg \lambda$）产生的辐射电场 $\mathbf{E_s}$ 的表达式由电动力学给出：
	\[
	\mathbf{E_s} = \frac{\mu_0 \omega^2}{4\pi r} \left[ \mathbf{\hat{r}} \times \left( \mathbf{\hat{r}} \times \dot{\mathbf{p}} \right) \right] e^{i(kr - \omega t)}
	\]
	其中 $\mathbf{\hat{r}}$ 为观测方向的单位矢量。考虑到 $\ddot{\mathbf{p}} = -\omega^2 \mathbf{p}$，且 $\mathbf{p}$ 与 $\mathbf{E_i}$ 方向相同，上式可写为：
	\[
	\mathbf{E_s} = -\frac{\mu_0 \omega^2}{4\pi r} \frac{e^{i(kr - \omega t)}}{r} \left[ \mathbf{\hat{r}} \times \left( \mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{p} \right) \right]
	\]
	矢量三重积 $\mathbf{\hat{r}} \times (\mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{p}) = (\mathbf{\hat{r}} \cdot \mathbf{p}) \mathbf{\hat{r}} - \mathbf{p}$。其数值大小等于 $p \sin\Theta$，其中 $\Theta$ 是散射方向 $\mathbf{\hat{r}}$ 与偶极矩方向 $\mathbf{\hat{p}}$ 之间的夹角。因此，散射电场振幅 $E_s$ 可表示为：
	\[
	E_s = \frac{\mu_0 \omega^2 p \sin\Theta}{4\pi r} e^{i(kr - \omega t)}
	\]
	代入偶极矩表达式 $\mathbf{p} = \alpha \varepsilon_0 \mathbf{E_i}$，并利用关系式 $c^2 = 1/(\mu_0\varepsilon_0)$ 和 $k = \omega/c$，可得：
	\[
	E_s = \frac{\mu_0 \omega^2 (\alpha \varepsilon_0 E_0) \sin\Theta}{4\pi r} e^{i(kr - \omega t)} = \frac{\alpha k^2 E_0 \sin\Theta}{4\pi \varepsilon_0 r} e^{i(kr - \omega t)}
	\]
	
	\section{散射光强的推导}
	光强 $I$ 即电磁波能流的时间平均值，与电场振幅的平方成正比，$I \propto |E|^2$。因此，散射光强 $I_s$ 为：
	\[
	I_s \propto |E_s|^2 = \left( \frac{\alpha k^2 E_0 \sin\Theta}{4\pi \varepsilon_0 r} \right)^2 = \frac{\alpha^2 k^4 E_0^2}{(4\pi \varepsilon_0)^2 r^2} \sin^2\Theta
	\]
	入射光强 $I_i \propto E_0^2$，且波数 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$，代入上式：
	\[
	I_s = I_i \cdot \frac{\alpha^2}{(4\pi \varepsilon_0)^2 r^2} \cdot \left( \frac{2\pi}{\lambda} \right)^4 \cdot \sin^2\Theta = I_i \cdot \frac{16\pi^4 \alpha^2}{\varepsilon_0^2 r^2 \lambda^4} \cdot \sin^2\Theta
	\]
	此即瑞利散射公式的最终形式。从中可立即得出两个核心结论：
	\begin{enumerate}
		\item 散射光强与波长的四次方成反比：$I_s \propto \lambda^{-4}$。
		\item 散射光强具有角分布，与 $\sin^2\Theta$ 成正比，即垂直于偶极轴的方向散射最强，沿轴线方向无散射。
	\end{enumerate}
	
	\section{结论与意义}
	瑞利勋爵1871年的推导完美地解释了天空的蓝色：
	\begin{itemize}
		\item 太阳光中的短波成分（蓝紫光）比长波成分（红光）被大气分子散射得更为强烈（约强10倍），因此当我们的视线偏离太阳时，看到的主要是被散射的蓝光，故天空呈蓝色。
		\item 在清晨或黄昏，阳光穿过大气层的路径更长，绝大部分蓝光都被散射到别处，剩余直达人眼的光线中红光占主导，故夕阳或朝阳呈现红色。
	\end{itemize}
	瑞利散射理论不仅是大气光学的基础，也是拉曼光谱、粒子测量等众多技术的物理基石，是经典电动力学最成功的应用之一。
	